Research notes|高知大学作物環境調節学研究室

球面三角形の余弦定理

参考： MY MATH NOTEの記事を参考にしました。

図のような球面三角形ABCの辺a,b,c と角Aとの間には、以下の関係が成り立つ（球面三角形の余弦定理）
\[\qquad \cos a=\cos b \cdot \cos c +\sin b \cdot \sin c \cdot \cos A \qquad \text{\textemdash} \: (1) \]

式(1)を証明する。上図は半径1の球面である。平面ADEは、点Aで球Oと接している（接平面である）。
よって、 \( \text{OA} \perp\ \text{平面ADE} \) より、 \( \text{OA} \perp \text{AD},\quad \text{OA} \perp \text{AE} \)である。したがって \(\triangle \text{ODA}\) と \(\triangle \text{OEA}\) は直角三角形となる。
また、\(\angle \text{DOE}=\angle \text{BOC}=a,\quad \angle \text{DOA} =\angle \text{BOA}=c \) である。
\(\triangle \text{ODE} \) と \( \triangle \text{ADE} \) に平面三角形の余弦定理を用いて
\[\ DE^2=OD^2+OE^2-2OD\cdot OE\cos a\] \[\ DE^2=AD^2+AE^2-2AD\cdot AE\cos A\]

辺々引いて
\[(OD^2-AD^2)+(OE^2-AE^2)-2OD\cdot OE\cos a+2AD\cdot AE\cos A=0\]
\[ 2OD\cdot OE\cos a = (OD^2-AD^2)+(OE^2-AE^2)+2AD\cdot AE\cos A\\ = OA^2+OA^2+2AD\cdot AE\cos A\\ = 2OA^2+2AD\cdot AE\cos A\\ \] ※上記では、三平方の定理を\(\text{OD}^2\)および\(\text{OE}^2\)にそれぞれ適用した。
\[\therefore OD\cdot OE\cos a=OA^2+AD\cdot AE\cos A\]

これを整理すると、
\[ \cos a = \frac{OA^2}{OD\cdot OE}+\frac{AD\cdot AE}{OD\cdot OE}\cos A\\ = \frac{OA}{OE}\cdot \frac{OA}{OD}+\frac{AE}{OE}\cdot \frac{AD}{OD}\cos A\\ \\ = \cos b \cdot \cos c +\sin b \cdot \sin c \cdot \cos A\\ \]
となり、式(1)が導ける。

光線と葉の法線とのなす角がつくる余弦

前節の球面三角形の余弦定理 (式(1))は、光線方向への葉面積の投影関数（いわゆるG関数）を求める際に必要となる。ここでは、その概略を示す。
下図は、半径1の球を示している（よって、弧の長さ = 角度）。 A, Bの天頂角をそれぞれ\( \theta,\theta_L \) とし、 A, Bの方位角の差を\( \alpha - \alpha_L \) とする。図中のNは天頂である。球面三角形NABに余弦定理を用いると、\( \cos{\widehat{r_L r}} \)は、 \[ \cos{\widehat{r_L r}} = \cos \theta \cos \theta_L + \sin \theta \sin \theta_L \cos{(\alpha - \alpha_L)}\] と表せる。